数学の講座

正の数と負の数

レベル1から順に進めば、符号の意味から総合問題まで一本道で届きます。前のレベルが終わってから次へ進むのが、いちばんの近道です。

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文字の式

数が決まっていなくても、関係は式にできる。文字の書き方から始めて、式を読み、計算できるところまで進む。

一次方程式

レベル1から順に進めば、方程式の意味から文章題まで一本道で届きます。前のレベルが終わってから次へ進むのが、いちばんの近道です。

平面図形

図形を動かし、円を知り、定規とコンパスだけで作図する。作図の3つの道具を「手順」ではなく「何の集まりか」で理解して、条件から組み立てられるところまで進む。

空間図形

立体を見取図・展開図・投影図で行き来し、体積と表面積を求める。展開図に開く力を、最短の道すじや円錐の計量まで使えるようにする。

比例・反比例

ともなって変わる2つの量を、表・式・グラフの3通りで行き来する。どれか1つ分かれば残り2つが作れるところまで進み、最後は図形や動く点の中で関数を立てる。

データの分布（ヒストグラムと相対度数）

データを階級に分けて整理し、ヒストグラムで散らばりの形をつかむ。相対度数で大きさのちがう集団をくらべ、最後は根拠の数値を示して結論を説明できるところまで進む。

ことがらの起こりやすさ

何度も試した結果から、起こりやすさを数で見積もる。回数を増やすと相対度数が一定の値に落ち着くことを見て、その値を確率として予測に使えるところまで進む。

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式の計算

まとめられるのは、文字の部分が完全に同じ項だけ。この一線が引けていれば、加減も乗除も同じ手順で進む。つまずくのは −のかっこと分数で、−のかっこは中の符号を全部変え、式の計算では分母を払わず通分するだけ——この2つが、いちばん多い誤りになる。

文字式の利用

つまずくのは計算ではなく、書き方のほう。「〜を n とすると」から始まる4行の型を持っていれば、あとは中身を入れるだけになる。いちばん多い失点は、3n + 3 で止めてしまうこと——3(n + 1) までくくって、はじめて「3の倍数」と言える。

連立方程式

文字が2つなら、式も2本。1本では解が無数にあり、2本そろってはじめて1組に決まる。解き方は式の形で決まり、「x ＝〜」の形があれば代入法、なければ加減法。迷ったら加減法でよく、どんな形にも使える。

一次関数とグラフ

一次関数は y ＝ ax ＋ b の形で、比例は b ＝ 0 の場合。変化の割合はいつも a に等しく、グラフでは「右へ1進むと上へ a 進む」傾きになる。b は y 軸との交点で、切片と傾きが決まれば直線が1本に決まる。増え方が一定だから、グラフは曲がらず直線になる。

一次関数と方程式

二元一次方程式の解を並べると、1本の直線になる。ax ＋ by ＝ c は y について解くか、2つの切片を出せばグラフがかける。連立方程式の解は2直線の交点で、傾きがちがえば1組、傾きが同じなら切片で平行か一致に分かれる。

一次関数の利用

文章から式を作るときにさがすのは2つだけ——「1あたり、いくつ増えるか」が a、「はじめ、いくつか」が b。傾きは場面によって速さや単価になり、切片ははじめの位置や基本料金になる。途中でようすが変わればグラフは折れ線になり、区間ごとに別の式になる。

平行と合同

角の名前は場所で決まり、等しくなるのは平行なときだけ。「平行だから角が等しい」（性質）と「角が等しいから平行」（条件）は向きが逆で、証明で使うのは条件のほう。内角の和180°は、平行線を引いて錯角で角を集めれば作り直せる。

証明

証明は、だれが読んでも同じ結論にたどりつくように書いたもの。仮定から出発し、定義・性質・条件を理由にして結論へ着く。合同は目的ではなく橋で、対応する辺や角まで戻って終わる。測るのはその図1つ、証明はあてはまるすべての図の話。

図形の性質と証明　三角形

二等辺三角形の道具は「2辺が等しい→2角が等しい」（性質）と「2角が等しい→2辺が等しい」（条件）の両向きをもつ。頂角の二等分線は4つの言い方が同じ1本で、1回引くだけで角・中点・垂直の3つが手に入る。直角三角形には、斜辺を使う専用の合同条件が2つある。

図形の性質と証明　四角形

平行四辺形の定義は「2組の対辺が平行」だけで、対辺・対角・対角線の性質はそこから出てくる。なる条件は5つあり、5つめだけが「1組の対辺が平行でかつ等しい」。長方形は角、ひし形は辺でしぼった平行四辺形で、対角線の中点・長さ・垂直の3つを見れば種類が決まる。

場合の数と確率

場合の数は「もれなく、重なりなく」数える。樹形図は順番を決めて枝を伸ばす道具で、2つなら表が速い。確率は「あてはまる場合 ÷ 全部の場合」だが、この式が使えるのは同様に確からしいときだけ。同じ色の玉も1つずつ区別するのは、その前提をそろえるため。

箱ひげ図とデータの活用

四分位数は、データを4等分する3つの数。求め方は中央値を2回とるだけで、全体の中央値・前半の中央値・後半の中央値にあたる。箱ひげ図は5数要約だけでかけるので、個数や平均値や山の形は読み取れない。四分位範囲は真ん中の半分の広がりで、極端な値に強い。