三平方の定理がわからない中3へ｜斜辺の見つけ方から解説

三平方の定理は a²+b²=c² と覚えていても、実際の図ではどの辺をcにすればいいのか迷う人が多いです。

公式を使う前に一番大切なのは、直角の向かい側にある斜辺を見つけることです。

三平方の定理が使えるのは直角三角形

直角三角形で、直角をはさむ2辺をa、b、斜辺をcとすると、

a²+b²=c²

が成り立ちます。

3辺が3、4、5なら、3²+4²=9+16=25=5² です。

cは必ず斜辺

図の向きが変わっても、斜辺は直角の向かい側です。一番上にある辺や横向きの辺がcとは限りません。

最初にcへ印を付けてから式を作るとミスが減ります。

斜辺を求めるときは足す

直角をはさむ2辺が6cmと8cmなら、

6²+8²=c²

36+64=100

なのでc=10cmです。

長さなので、平方根を取るときは正の値を使います。

斜辺以外を求めるときは移項する

斜辺が13cm、一方の辺が5cmなら、

5²+b²=13²

b²=169-25=144

なのでb=12cmです。

「斜辺以外なら引き算」と丸暗記するより、まず a²+b²=c² を書いてから移項すると安全です。

三平方の定理の逆

3辺の長さが分かっているとき、直角三角形か判断できます。

最も長い辺をcとして、a²+b²=c² が成り立てば直角三角形です。

たとえば5、12、13なら 25+144=169 なので直角三角形です。

正方形の対角線

一辺5cmの正方形の対角線をdとすると、直角三角形を作れます。

5²+5²=d²

d²=50

なので d=5√2 cmです。

三平方と平方根がつながっていることが分かります。

特別な三角形

45°・45°・90°の直角二等辺三角形では、辺の比が 1:1:√2 です。

30°・60°・90°では 1:√3:2 になります。最初は正方形や正三角形を半分にして導くと覚えやすくなります。

座標の2点間の距離

点 (1,2) と (4,6) の距離を考えます。横の差は3、縦の差は4です。

直角三角形を作ると、距離は √(3²+4²)=5 になります。

距離公式も三平方の定理から作られています。

空間図形では2回使うことがある

直方体の対角線では、まず底面の対角線を求め、その対角線と高さでさらに直角三角形を作ります。

図の中に直角三角形を見つけることができれば、平面でも空間でも同じ定理を使えます。

平方根が不安なら先に復習する

三平方では答えが √50=5√2 のようになることがあります。平方根がわからない中3へで根号計算を確認しておくと安心です。

中3数学の勉強法では中3全体の復習順も整理しています。中学数学の学習サイトでも斜辺の見つけ方から段階的に学べます。

まとめ

三平方の定理で最初にすることは、公式を書くことではありません。直角を見つけ、その向かい側の斜辺cを決めることです。

cが決まれば a²+b²=c² へ長さを入れ、求めたい辺に合わせて計算できます。