平方根がわからない中3へ｜√の意味から計算まで順番に理解しよう

平方根では、√という見慣れない記号が突然出てきます。√9=3 なのに「9の平方根は±3」と言われ、最初から混乱する人もいます。

この単元は計算ルールより先に、平方根と√が何を表すかを理解することが大切です。

平方根とは「2乗するとその数になる数」

9の平方根を考えます。

3²=9

(-3)²=9

なので、9の平方根は3と-3の2つです。

√9 は3だけ

√は、0以上の平方根を表す記号です。そのため √9=3 であり、√9=±3 ではありません。

ここを区別すると、後の計算で符号を間違えにくくなります。

√2はどれくらいの数？

1²=1、2²=4 なので、√2は1と2の間にあります。

およそ1.414です。√が付いていても数なので、数直線上に位置があります。

根号を簡単にする

√12 は、12の中に平方数4が含まれています。

12=4×3

なので、√12=2√3 とできます。

平方数を見つけるときは、4、9、16、25などを探します。

足し算・引き算は同じ√だけまとめる

2√3+5√3=7√3 です。

一方、√2+√3 はまとめられません。文字式の 2x+5x と x+y の違いに似ています。

先に根号を簡単にしてからまとめる問題もあります。

√12+√3=2√3+√3=3√3

となります。

掛け算は根号の中を掛ける

√2×√3=√6

です。

√2×√8=√16=4 のように、掛けた後に整数になることもあります。

割り算と有理化

√12/√3=√4=2 のように計算できます。

分母に√が残る 1/√2 では、分子と分母に√2を掛けます。

1/√2 × √2/√2 = √2/2

分子と分母へ同じものを掛けているので、値は変わりません。

平方根で多い間違い

√2+√3=√5 とはなりません。足し算では根号の中をそのまま足せないことに注意してください。

また、√(-4) は中学校で扱う実数の範囲では考えません。2乗して負になる実数はないからです。

二次方程式と三平方でまた使う

平方根はこの単元だけで終わりません。x²=12 を解く二次方程式や、辺の長さを求める三平方の定理でも使います。

二次方程式がわからない中3へと三平方の定理がわからない中3へにもつながります。

中学数学の学習サイトでは、平方根の意味から有理化まで順番に学べます。

まとめ

平方根では、最初に9の平方根は±3、√9は3という違いを理解してください。

その後、根号を簡単にする→足し引き→掛け割り→有理化の順に進めると、計算ルールが整理しやすくなります。