y=ax²がわからない中3へ｜放物線と変化の割合をやさしく整理

中3の y=ax² は、式だけ見ると一次関数に似ています。でもグラフは直線ではなく放物線になり、変化の仕方も違います。

最初に、xが2倍ならyは4倍、xが3倍ならyは9倍になるという2乗に比例する感覚をつかみましょう。

y=ax² とは

たとえば y=2x² を考えます。

xと-xでyが同じになるので、グラフはy軸に対して左右対称になります。

グラフは放物線

表の点を座標へ置き、なめらかにつなぐと曲線になります。この形を放物線といいます。

比例や一次関数のように直線で結ばないことに注意してください。

aが正なら上向き、負なら下向き

y=2x² は上向きに開きます。y=-2x² は下向きです。

aの符号を見るだけで、放物線がどちらへ開くか分かります。

|a|が大きいほど細くなる

y=x² と y=3x² を比べると、同じxで3x²のほうがyの絶対値が大きくなります。そのためグラフはより細く見えます。

aを求める

y=ax² が点 (2,12) を通るなら、x=2、y=12を代入します。

12=4a

なのでa=3、式は y=3x² です。

原点 (0,0) はどの y=ax² も通るので、原点だけではaを決められません。

変域では0を含むかを見る

y=x² で -2≦x≦3 なら、x=0を含むのでyの最小値は0です。

最大値は、絶対値が大きいx=3のとき9です。したがって 0≦y≦9 となります。

負の区間だけなら0を含まないため、端の値を両方計算して比べます。

変化の割合は一定ではない

一次関数では変化の割合がいつもaでした。y=ax² では区間によって変わります。

たとえば y=x² でxが1から3へ変わると、

(9-1)/(3-1)=8/2=4

です。

xが2から4なら (16-4)/(4-2)=6 となり、同じではありません。

一次関数と比べる

中2の一次関数と比べると違いが整理しやすくなります。

一次関数がわからない中2へで復習できます。

動きの問題にも使われる

時間x秒と距離y mの関係が y=5x² のように表されることがあります。式に数字を代入するだけでなく、xが増えるほど変化が大きくなることをグラフで見ると理解しやすいです。

中3数学の勉強法では他の中3単元とのつながりも整理しています。中学数学の学習サイトでも表から放物線まで順番に学べます。

まとめ

y=ax² は、まず表を作って2乗に比例する変化と放物線の形を確認するのがおすすめです。

aの符号・大きさ、変域、変化の割合も、式だけで暗記せずグラフとつなげて理解してください。