√2はなぜ割り切れない？「無理数」ってどんな数？

√2 を電卓に入れると、

1.4142135623…

のように小数が続きます。

中3で初めて「無理数」という言葉を聞くと、「無理な数ってどういうこと？」と名前に引っかかるかもしれません。

数学でいう無理数は、意味のない数ではありません。整数どうしの分数では正確に表せない数のことです。

有理数と無理数の違い

整数aと0ではない整数bを使って、

a/b

の形に表せる数を有理数と呼びます。

たとえば、

3 = 3/1

0.5 = 1/2

0.333… = 1/3

なので、これらは有理数です。

一方、√2 はどんな整数a、bを使っても a/b と正確には表せません。そこで無理数に分類されます。

平方根の基本から確認したい人は、平方根がわからない中3へから復習してみてください。

「小数がずっと続く=無理数」ではない

ここはよく間違えます。

1/3 = 0.33333…

のように、小数が終わらなくても同じ数字の並びが繰り返すものがあります。これを循環小数といい、分数に表せるので有理数です。

有理数を小数で表すと、

• 0.25のように途中で終わる
• 0.333…のように一定の並びが繰り返す

のどちらかになります。

√2 の小数は終わらず、一定の周期で繰り返しもしません。

√2はどこで出てくるの？

無理数というと特別な数に見えますが、図形を考えると自然に現れます。

一辺が1cmの正方形を考えてみましょう。

対角線の長さをx cmとすると、三平方の定理から、

x² = 1²+1²

x² = 2

となります。

長さは正なので、

x=√2

です。

つまり、普通の正方形の対角線を正確に表そうとするだけで√2が必要になるのです。

三平方の定理を復習したい場合は、三平方の定理がわからない中3へもあわせて確認してください。

√2が分数で表せないことを少しだけ確かめてみる

ここは少し発展ですが、「本当にどんな分数でも無理なの？」が気になる人向けです。

仮に、√2をこれ以上約分できない分数 a/b で表せたとします。

√2 = a/b

両辺を2乗すると、

2 = a²/b²

なので、

a² = 2b²

です。

右辺は2の倍数なので、a²は偶数。するとaも偶数になります。

そこで a=2k とすると、

4k² = 2b²

b² = 2k²

となり、今度はbも偶数だと分かります。

するとaとbは両方2で割れることになります。

しかし最初に「これ以上約分できない分数」としたはずなので矛盾します。

そのため、√2は整数どうしの分数では表せません。

このように「仮にできるとして考えたら矛盾した」と示す方法も、数学の証明で使われる考え方です。

√が付いていれば全部無理数？

そうではありません。

√4=2

√9=3

なので、√4や√9は有理数です。

一方、

√2、√3、√5

などは無理数です。

中学校ではまず、根号を外して整数になるかを見ると判断しやすいでしょう。

1分チェック

次の数を有理数と無理数に分けてみてください。

• 0.25
• √7
• √16
• 0.121212…

答えは、

有理数：0.25、√16=4、0.121212…

無理数：√7

です。

まとめ

無理数は、整数どうしの分数では正確に表せない数です。

√2は約1.4142…ですが、この小数を書き続けても終わらず、同じ並びが周期的に繰り返すこともありません。

そして√2は、一辺1の正方形の対角線という身近な図形から自然に現れます。

「変わった数を無理やり作った」のではなく、図形の長さを正確に表そうとすると必要になる数だと考えると、無理数の意味がつかみやすくなります。