相似がわからない中3へ｜相似条件と辺の比を図から理解しよう

相似では、図形が似ていることは分かっても、相似条件や辺の比になると混乱する人が多いです。特に、対応する頂点を取り違えると、その後の計算も証明も合わなくなります。

相似で最初に見るのは、どの頂点とどの頂点が対応しているかです。

相似とは

一方の図形を一定の倍率で拡大・縮小すると、もう一方と重なる関係を相似といいます。

形が同じで、大きさが違っていても構いません。同じ大きさの合同な図形も相似に含まれます。

対応する順番が重要

△ABC∽△DEF と書かれているなら、AとD、BとE、CとFが対応します。

したがってABとDE、BCとEF、CAとFDが対応する辺です。

文字の順番を読み飛ばさないようにしてください。

相似な図形では角が等しく辺の比が同じ

対応する角はそれぞれ等しくなります。また、対応する辺は同じ倍率です。

たとえばAB:DE=2:3なら、BC:EFもCA:FDも2:3です。

この2:3を相似比といいます。

三角形の相似条件は3つ

証明問題では、図からどのセットを集められるか考えます。

まず角から見ると見つけやすい

平行線がある図では、同位角や錯角が等しくなります。そのため2組の角が等しい相似条件を使えることが多いです。

共通の角がある場合も、1組分の条件になります。

辺の長さは対応をそろえて比例式にする

相似比が2:3で、小さい三角形の辺が4cmなら、対応する大きい辺は6cmです。

2:3=4:x

と対応の順番をそろえて比例式を作ります。

左右で小さい:大きいが混ざらないようにすることが大切です。

証明は「対応→根拠→条件」の順

相似の証明では、最初に見る2つの三角形を決めます。次に等しい角や辺の比を2〜3個集め、最後に相似条件へつなげます。

中2の合同証明と考え方はよく似ています。中2数学の証明がわからない人へを復習すると理解しやすくなります。

平行線と線分の比にもつながる

三角形の中に平行線があると、小さい三角形と大きい三角形が相似になります。そこから線分の比を求められます。

定理を別に暗記するより、「平行→角が等しい→相似→辺の比」とつなげて考えると覚えやすいです。

面積比は相似比の2乗

相似比が2:3なら、面積比は 2²:3²=4:9 です。長さがそれぞれ2倍、3倍と変わるため、面積では2方向の倍率が掛かります。

体積比では3方向なので相似比の3乗になります。

文字の順番を毎回確認する

相似で最も避けたいのは、対応の取り違えです。問題を見たら図に同じ印を付け、相似の式を対応順に書いてください。

中3数学の勉強法では中3図形全体の位置づけも確認できます。中学数学の学習サイトでも相似条件から辺の比まで順番に学べます。

まとめ

相似では、条件を暗記する前に対応する頂点を正しく見つけることが最優先です。

対応が分かれば、角・辺の比を集めて相似条件を選び、そのまま長さや証明へつなげられます。