√12はなぜ2√3になる？平方根を簡単にする考え方

中3の平方根では、

√12 = 2√3

のように、根号の中を簡単にする計算が出てきます。

「12がどうして急に2と3になるの？」と感じる人もいますが、やっていることはシンプルです。根号の中から、平方数になっている部分を見つけて外へ出しているだけです。

そもそも「√を使う意味」から知りたい場合は、平方根って何のためにある？も先に読むと、根号を残す理由が分かりやすくなります。

√12の中に「4×3」を見つける

12は、

12 = 4×3

と分けられます。

そこで、

√12

= √(4×3)

= √4 × √3

= 2√3

となります。

ポイントは、4が 2² だということです。

√4=2

なので、4の部分だけ根号の外へ出せます。

平方根そのものの意味がまだ曖昧な場合は、先に平方根がわからない中3へを確認すると、この変形も理解しやすくなります。

探すのは「4、9、16、25…」

根号を簡単にするときは、根号の中に次のような平方数が掛け算として含まれていないか探します。

4=2²

9=3²

16=4²

25=5²

36=6²

たとえば、

√18

なら、18を 9×2 と見ます。

√18 = √(9×2) = 3√2

√20

なら、

√20 = √(4×5) = 2√5

です。

「何で分けるか」を最初から全部考えるのではなく、4や9などで割り切れないかを見ると見つけやすくなります。

素因数分解を使う方法もある

平方数がすぐ見つからないときは、素因数分解しても構いません。

たとえば、

√72

を考えます。

72を素因数分解すると、

72 = 2×2×2×3×3

です。

同じ因数を2個ずつ組にすると、

√72 = √(2×2×3×3×2)

= 2×3√2

= 6√2

となります。

根号の中では、同じ数が2個そろうと1個が外へ出ると考えると分かりやすいです。

なぜ「√4×√3」に分けてよいの？

0以上の数a、bについて、

√(a×b)=√a×√b

が成り立ちます。

だから √12 を √(4×3) と書き換えたあと、√4×√3 に分けられます。

ただし、足し算では同じことはできません。

ここがよくあるミスです。

よくあるミス1：√12を√4+√3にする

12=4+8 のように足し算へ分けても、

√(a+b)=√a+√b

は一般には成り立ちません。

たとえば、

√(9+16)=√25=5

ですが、

√9+√16=3+4=7

です。

根号を簡単にするときは、足し算ではなく掛け算として平方数を探すと覚えてください。

よくあるミス2：まだ外へ出せるのに止める

√48

を、

√(4×12)=2√12

で止めると、まだ √12 の中に4があります。

最後まで簡単にすると、

√48 = √(16×3)=4√3

です。

答えを書いたあとに、根号の中に4、9、16などがまだ隠れていないかを一度確認するとミスを減らせます。

3問だけ練習してみよう

問題1

√27

27は 9×3 なので、

√27=3√3

問題2

√32

32は 16×2 なので、

√32=4√2

問題3

√75

75は 25×3 なので、

√75=5√3

です。

解説を見た直後にできるだけでなく、翌日にもう一度同じ3問を解いてみてください。

まとめ

√12=2√3 になるのは、12を 4×3 と分けられ、√4=2 だからです。

根号を簡単にするときは、

根号の中に4、9、16、25などの平方数が掛け算として含まれていないかを見る

のが基本です。

平方数が見つけにくければ素因数分解して、同じ因数を2個ずつ探してみましょう。