解の公式はなぜあの形？二次方程式の公式を「平方完成」から見る

中3で習う解の公式は、数学の中でも「長くて覚えにくい公式」の代表かもしれません。

x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

を見て、

「どうして急にこんな形が出てくるの？」

と思う人も多いでしょう。

この公式は、誰かが覚えにくくするために決めたものではありません。

一般的な二次方程式を、平方根で解ける形まで変形した結果です。

まず、二次方程式には3つの主な解き方がある

中学校では、二次方程式を見たら主に、

• 因数分解
• 平方根を使う
• 解の公式

を使い分けます。

たとえば、

x²=9

なら、

x=±3

と平方根を使えばすぐ解けます。

一方、

x²+5x+6=0

なら、

(x+2)(x+3)=0

と因数分解するほうが簡単です。

二次方程式全体の使い分けは、二次方程式がわからない中3へで整理しています。

解の公式の出発点はax²+bx+c=0

どんな二次方程式にも使える形として、

ax²+bx+c=0

を考えます。

ただし a≠0 です。a=0なら二次方程式ではなくなります。

目標は、この式を

○² = 数字

の形へ近づけることです。

そこで「平方完成」という考え方を使います。

平方の形を作ってみる

まず、

ax²+bx+c=0

からcを右へ移します。

ax²+bx=-c

両辺に4aを掛けると、

4a²x²+4abx=-4ac

です。

ここで左辺を見ると、

(2ax+b)²

を作れそうです。

なぜなら、

(2ax+b)² = 4a²x²+4abx+b²

だからです。

そこで両辺にb²を足します。

4a²x²+4abx+b² = b²-4ac

左辺が平方になり、

(2ax+b)² = b²-4ac

となりました。

平方根を使えばxまでたどり着ける

両辺の平方根を考えると、

2ax+b = ±√(b²-4ac)

です。

bを右へ移して、

2ax = -b ± √(b²-4ac)

最後に2aで割ると、

x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

になります。

これが解の公式です。

長い形ですが、途中で特別な魔法を使ったわけではありません。

二次方程式を平方の形へ変え、平方根を使ってxを取り出しただけです。

平方根の計算に不安がある人は、平方根がわからない中3へも確認しておきましょう。

実際の数字を入れてみよう

2x²+3x-2=0

を解の公式で解きます。

a=2、b=3、c=-2

です。

公式へ入れると、

x = {-3 ± √(3²-4×2×(-2))} / (2×2)

根号の中は、

9+16=25

なので、

x = (-3 ± 5)/4

です。

したがって、

x=1/2 または x=-2

となります。

一番多いミスは「負のb・c」をそのまま入れること

たとえば b=-3 なら、公式の最初は

-b=-(-3)=3

になります。

また、c=-2 のような負の数を代入するときは、

4×2×(-2)

のように必ずかっこを付けます。

符号のミスが多い人は、数字を入れた直後に計算せず、a、b、cを一度横に書いてから代入すると安全です。

因数分解できる問題にも解の公式を使っていい？

数学的には使えます。

ただし、因数分解で一瞬で解ける問題に解の公式を使うと、計算量が増えてミスしやすくなります。

因数分解の見分けが苦手なら、因数分解の公式が覚えられない人へも参考にしてください。

テストでは、

簡単に因数分解できる → 因数分解

x²=数字にできる → 平方根

どちらも使いにくい → 解の公式

くらいの順で考えるとよいでしょう。

√の中のb²-4acにも意味がある

解の公式の根号の中、

b²-4ac

は、解の個数と関係します。

中学校ではまず公式へ正しく代入できれば十分ですが、

• 正の数なら実数の解が2つ
• 0なら実数の解が1つ（重なる）
• 負の数なら中学校で扱う実数の範囲では解がない

という違いがあります。

公式の形には、答えの性質まで入っているわけです。

まとめ

解の公式は、突然与えられた暗記用の式ではありません。

ax²+bx+c=0

を平方の形へ変えると、

(2ax+b)²=b²-4ac

となり、そこから平方根を使ってxを取り出すことで、

x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

が出てきます。

すべての変形を毎回再現する必要はありませんが、「平方の形にして解いている公式」だと知っておくと、長い式も少し意味のある形に見えてきます。