分数の割り算はなぜひっくり返す？「逆数を掛ける」理由を中学生向けに解説

分数の割り算では、

2/3 ÷ 4/5

を、

2/3 × 5/4

に直して計算します。

「割る数をひっくり返して掛ける」と覚えている人も多いと思います。

でも、なぜひっくり返してよいのでしょうか。

結論からいうと、割る数を1にするために、その数の逆数を使っていると考えると理由が見えてきます。

まず「3÷1/2」で考えてみよう

3÷1/2

は、「3の中に1/2が何個あるか」と考えられます。

1の中には1/2が2個あるので、3の中には、

2×3=6個

あります。

だから、

3÷1/2=6

です。

計算の形を見ると、

3×2=6

になっています。

1/2 で割ることが、2 を掛けることと同じになりました。この2は 1/2 の逆数です。

逆数とは？

逆数とは、掛けると1になる数です。

2/3 の逆数は 3/2。

なぜなら、

2/3 × 3/2 = 1

だからです。

4/5 の逆数は 5/4 です。

分数の割り算では、この「掛けると1になる数」を使います。

2/3÷4/5を式で確かめよう

では、

2/3 ÷ 4/5

を考えます。

割る数の 4/5 を1にしたいので、4/5 の逆数 5/4 を使います。

割り算全体の値を変えないように考えると、

(2/3 × 5/4) ÷ (4/5 × 5/4)

となります。

下側の、

4/5 × 5/4

は1です。

したがって、

2/3 × 5/4 ÷ 1

となり、結局、

2/3 × 5/4

を計算すればよいことが分かります。

=10/12

=5/6

です。

公式として覚えるならここまで

a/b ÷ c/d

は、

a/b × d/c

に変えられます。

つまり、ひっくり返すのは後ろの「割る数」だけです。

前の分数まで逆数にする必要はありません。

よくあるミス1：前の分数もひっくり返す

たとえば、

3/4 ÷ 2/5

を、

4/3 × 5/2

としてはいけません。

正しくは、

3/4 × 5/2

です。

答えは、

15/8

になります。

よくあるミス2：足し算でもひっくり返す

逆数を使うのは、分数の割り算を掛け算へ変えるときです。

1/2+1/3

のような足し算では使いません。この場合は通分します。

「分数が出たらひっくり返す」と覚えるのではなく、「割り算の後ろを逆数にして掛け算へ変える」と覚えましょう。

よくあるミス3：約分の場所を間違える

掛け算へ直したあとなら、分子と分母で共通の数を約分できます。

たとえば、

3/4 × 8/5

なら、4と8を4で約分して、

3×2/5=6/5

とできます。

ただし、足し算・引き算の途中で勝手に約分することはできません。

計算の途中でミスが多い人は、中学生の計算ミスを減らす方法も参考にしてください。

3問練習してみよう

問題1

3/4 ÷ 2/5

=3/4×5/2

=15/8

問題2

5/6 ÷ 10/9

=5/6×9/10

約分すると、

=3/4

です。

問題3

4 ÷ 2/3

4を 4/1 と考えると、

4/1×3/2=6

となります。

整数が混ざっても考え方は同じです。

分数が苦手なら、計算手順より意味から戻る

分数の割り算は「ひっくり返して掛ける」だけならすぐ覚えられます。

ただ、文章題や複雑な式になると、意味を理解しているほうが迷いにくくなります。

数学全体で基礎へ戻る場所が分からない場合は、中学数学を基礎から学び直す方法も参考にしてください。

まとめ

分数の割り算で後ろをひっくり返すのは、覚えやすくするための不思議なルールではありません。

割る数 4/5 に逆数 5/4 を掛けると1になるため、割り算を掛け算へ変えられます。

割る数の逆数を掛ける

と意味までセットで覚えておけば、前の分数をひっくり返すミスも減らせます。

ますっちの中学数学学習では、計算手順だけでなく、意味を確認してから練習問題へ進めます。