1001²−999²を一瞬で解く方法｜大きな数ほど簡単になる因数分解

1001²-999²

この式を見て、1001²と999²をそれぞれ計算しようとしていませんか。

もちろん筆算でも求められます。でも、中3で習う因数分解を使うと、大きな2乗を一度も計算せずに答えを出せます。

数字が大きいから難しいとは限りません。式の形に気づくと、むしろ簡単になる問題です。

まず答えまで計算してみよう

使う公式は、

a²-b²=(a+b)(a-b)

です。

1001²-999²

=(1001+999)(1001-999)

=2000×2

=4000

答えは 4000 です。

1001²も999²も求めていません。

2乗の差は「和×差」に変えられる

この公式は、因数分解の基本公式の1つです。

なぜ成り立つかは、右側を展開すると分かります。

(a+b)(a-b)

=a²-ab+ab-b²

真ん中の -ab と +ab が消えるので、

=a²-b²

となります。

つまり、2乗どうしの引き算を見たら、足したもの×引いたものへ変えられる可能性があります。

展開と因数分解の基本が曖昧な人は、展開と因数分解がわからない中3へから確認してください。

なぜ1001と999だと特に簡単なの？

ポイントは2つの数が近いことです。

1001-999=2

なので、因数分解したあとの片方が非常に小さくなります。

一方、

1001+999=2000

なので、残る計算は 2000×2 だけです。

「大きい数だから大変」と数字だけを見るのではなく、差が小さいことに注目すると見え方が変わります。

51²−49²も同じ考え方

もっと小さな数字で確認してみましょう。

51²-49²

=(51+49)(51-49)

=100×2

=200

です。

同じように、

101²-99²

なら、

200×2=400

になります。

数字が変わっても「2乗の差」という形は同じです。

よくある間違い1：差をそのまま2乗する

1001²-999²

を、

(1001-999)²=2²

としてはいけません。

一般に、

a²-b² ≠ (a-b)²

です。

(a-b)² を展開すると、

a²-2ab+b²

となり、まったく別の式になります。

「2乗が2つあるからまとめる」のではなく、因数分解の公式を正しく使います。

よくある間違い2：公式だけ覚えて使う条件を見ない

この方法が使えるのは、a²-b² という2乗どうしの引き算です。

a²+b² のように足し算になっている式を、同じ公式で (a+b)(a-b) にすることはできません。

公式は名前だけでなく、式の形ごと覚えるのが大切です。

因数分解がなぜ発展してきたのか興味がある人は、因数分解は誰が考えた？も読んでみてください。

もう3問だけ挑戦

次の問題を、できるだけ大きな2乗を計算せずに解いてみましょう。

1. 31²-29²
2. 501²-499²
3. 10001²-9999²

答えは、

1. (31+29)(31-29)=60×2=120
2. 1000×2=2000
3. 20000×2=40000

です。

数が大きくなっても、差が2なら最後は「和×2」になるので簡単です。

95²の暗算とは何が違う？

95²を暗算で計算する方法では、末尾が5の2乗という別の形を使いました。

数学には、

• 末尾が5の2乗
• 2乗どうしの差
• 100に近い数の掛け算

など、式の形を見ると計算しやすくなる場面があります。

大切なのは裏技をたくさん覚えることではなく、「この式はどの形に近い？」と考える習慣です。

まとめ

1001²-999² は、

a²-b²=(a+b)(a-b)

を使えば、

2000×2=4000

と一気に計算できます。

大きな数を見てもすぐに筆算を始めず、式の形を変えられないかを一度考えてみてください。中学数学の公式が、計算を短くする道具として使えることが分かります。

ますっちの中学数学学習では、公式の意味を確認してから問題を解きながら身につけられます。