なぜ0で割ってはいけないの？中学生向けに「0で割れない理由」を解説

数学では「0で割ってはいけない」と習います。

では、

6÷0

はなぜ計算できないのでしょうか。

「電卓でエラーになるから」ではありません。割り算を掛け算へ戻して考えると、答えとなる数を決められないことが分かります。

割り算は掛け算へ戻して考えられる

たとえば、

12÷3=4

なのは、

3×4=12

だからです。

一般に、

a÷b=c

なら、

b×c=a

という関係があります。

この考えを0で割る計算にも使ってみます。

6÷0の答えをxとすると？

もし、

6÷0=x

という答えがあるなら、掛け算へ戻したとき、

0×x=6

にならなければいけません。

しかし、

0×1=0

0×100=0

0×(-5)=0

のように、0へどんな数を掛けても0です。

6になる数はありません。

そのため、通常の中学数学で扱う数の範囲では、6÷0は定義できません。

0÷5は計算できる

ここで混同しやすいのが、

0÷5

です。

これは計算できます。

0÷5=x

とすると、

5×x=0

なので、x=0 です。

つまり、

0÷5=0

となります。

問題なのは「0を割ること」ではなく、0で割ることです。

では0÷0は0ではないの？

0÷0=0 としたくなるかもしれません。

でも、割り算を掛け算へ戻すと、

0×x=0

を満たすxを探すことになります。

ここで、

x=0

でも、

x=1

でも、

x=100

でも成立します。

候補が1つに決まりません。

そのため 0÷0 も、通常の算数・中学数学では値を1つに定めません。

6÷0 は「条件を満たす数がない」、0÷0 は「条件を満たす数がいくつもあって1つに決められない」という違いがあります。

「0に近い数で割れば大きくなる」から無限大？

1÷0.1=10

1÷0.01=100

1÷0.001=1000

を見ると、「0で割ったら無限大なのでは？」と思うかもしれません。

ただ、負の側から0へ近づけると、

1÷(-0.1)=-10

1÷(-0.01)=-100

となり、今度は負の方向へ大きくなります。

少なくとも中学数学の普通の割り算として、1÷0 を1つの数に決めることはできません。

分母が0になる式にも注意

中学以降では、分数の形でも0で割る問題が出てきます。

たとえば、

3/(x-2)

では、x=2 を入れると分母が0になります。

そのため、x=2 のときこの式は計算できません。

「分母は0にできない」というルールも、結局は0で割れないことにつながっています。

負の数や0の基本が不安なら、正負の数がわからない中1へも確認してください。

1分チェック

次のうち、通常の中学数学で計算できないものはどれでしょう。

1. 0÷3
2. 3÷0
3. 0×3
4. 0÷(-5)

計算できないのは2の 3÷0 です。

ほかは、

0、0、0

となります。

「理由まで知る」勉強は必要？

テストでは「0で割ってはいけない」と覚えていれば解ける問題もあります。

ただ、理由を一度理解しておくと、分数・方程式・関数で「なぜこの値は入れてはいけないの？」という場面でも応用できます。

なぜマイナス×マイナスはプラスになる？のように、数学のルールには他の計算の決まりとつながっているものが多くあります。

まとめ

0で割れない理由は、割り算を掛け算へ戻すと分かります。

6÷0=x

なら、

0×x=6

になる必要がありますが、そんな数はありません。

一方、0÷0 はどんなxでも 0×x=0 になってしまい、答えを1つに決められません。

「0で割ってはいけない」を暗記するだけでなく、掛け算へ戻して確かめると意味まで理解できます。

ますっちの中学数学学習では、ルールを覚えるだけでなく、「なぜそうなるか」を確認しながら基礎を学べます。