平方根って何のためにある？√を使う理由を中学生向けに解説

中3になると、突然 √ という見慣れない記号が登場します。

√2、3√5、√12……。計算ルールを覚えるうちに、「そもそも平方根って何のためにあるの？」と思う人もいるでしょう。

平方根は、ひとことで言えば2乗した結果から、元の数を考えるための道具です。

正方形の面積から考えると分かりやすい

一辺が3cmの正方形の面積は、

3×3=9

なので9cm²です。

逆に、面積が9cm²の正方形を見て「一辺は何cm？」と聞かれたら3cmと分かります。

これは、

3²=9

の逆を考えているからです。

では、面積が2cm²の正方形の一辺は何cmでしょうか。

1cmでは面積1cm²、2cmでは面積4cm²なので、その間です。ただし、整数や簡単な分数では正確に表せません。

そこで、2乗すると2になる正の数を √2 と表します。

√は「だいたいの数」ではない

√2 は約1.414ですが、√2 そのものは近似値ではありません。

√2

と書けば、2乗すると2になる正の数を正確なまま表せます。

小数で1.414と書くと少しずれます。図形の計算などでは、最後まで √2 のまま扱うことで正確さを保てます。

平方根の計算方法から確認したい人は、平方根がわからない中3へもあわせて読んでください。

「9の平方根」と「√9」は同じではない

ここは中3で特に間違えやすいところです。

9を2乗して作れる数を考えると、

3²=9

だけでなく、

(-3)²=9

も成り立ちます。

したがって、9の平方根は3と-3の2つです。

一方、記号 √9 は0以上の平方根を表すので、

√9=3

です。

√9=±3

とは書きません。

ただし、

x²=9

という方程式の解を求めるなら、

x=±3

となります。

「平方根」と「√」の使い分けをここで整理しておくと、二次方程式でも迷いにくくなります。

平方根は三平方の定理でよく使う

たとえば直角三角形の2辺が2cmと3cmなら、斜辺をxcmとして、

x²=2²+3²

x²=13

となります。

長さなのでxは正の値を取り、

x=√13

です。

√がなければ、この長さを正確に短く表しにくくなります。

三平方の定理とのつながりは、三平方の定理がわからない中3へでも詳しく解説しています。

なぜ平方根の計算を習うの？

学校では、

√12=2√3

のように√の中を簡単にしたり、

√3×√6

を計算したりします。

これは、√を含む数を扱いやすい形へ整理するためです。

たとえば √12 は、

√(4×3)

=2√3

とすると、同じ種類の√をまとめる計算などがしやすくなります。

平方根を簡単にする計算は、後の記事平方根の計算は、平方根がわからない中3へで例題と一緒に確認できます。

日常ではどこに出てくる？

平方根そのものを買い物で毎日書くことは少ないでしょう。

ただし、距離・面積・図形・統計・科学・プログラミングなど、2乗された量から元の大きさへ戻す場面では平方根が使われます。

中学数学ではまず、図形や二次方程式につながる道具として理解すれば十分です。

「将来使うかどうか」より、2乗と平方根が逆向きの関係になっていることをつかむと、計算ルールが覚えやすくなります。

1分チェック

次の3問を確認してみましょう。

1. √25 は？
2. 25の平方根は？
3. x²=7 の解は？

答えは、

1. 5
2. 5と-5
3. x=±√7

です。

1と2の違いを説明できれば、平方根の大事な部分を理解できています。

まとめ

平方根は、「難しい記号を増やすため」にあるのではありません。

2乗した結果から元の数へ戻るとき、整数や分数では表せない数も正確に表すための記号です。

まずは、

3²=9 ⇔ √9=3

のように2乗とのつながりから考えてください。

√の計算だけを暗記するより、「面積から一辺へ戻る」「x²からxを求める」という意味が分かると、中3の平方根がぐっと読みやすくなります。