一次関数の「傾き」って何？変化の割合をグラフと式で理解する

一次関数では、

y=ax+b

のaを傾きと呼びます。

「傾き=式のxの前の数字」とだけ覚えていると、グラフや2点から式を求める問題で迷いやすくなります。

傾きは、ひとことで言えば、xが増えたときにyがどれくらい増えるか・減るかを表す数です。

y=2x+3で傾きを見てみよう

y=2x+3

の傾きは2です。

xに0、1、2を入れると、

x	y
0	3
1	5
2	7

となります。

xが1増えるたびに、yは2ずつ増えています。

だから傾きは2です。

一次関数全体がまだ曖昧な場合は、一次関数がわからない中2へから確認してみてください。

グラフでは「右に1、上に2」

傾き2の直線は、グラフ上で見ると、

右へ1進むと上へ2進む

という動きをします。

たとえば y=2x+3 なら、切片3なので最初に(0,3)を取ります。

そこから、

右へ1、上へ2

進むと(1,5)です。

この2点を結ぶと直線を描けます。

傾きが負の数ならどうなる？

y=-3x+1

なら傾きは-3です。

xが1増えると、yは3減ります。

グラフでは、

右へ1、下へ3

です。

傾きが正なら右上がり、負なら右下がりになります。

傾きが分数でも考え方は同じ

たとえば、

y=1/2 x+2

の傾きは1/2です。

「右へ1、上へ1/2」でもよいですが、グラフでは分数の点を取りにくいことがあります。

そこで、

右へ2、上へ1

と考えます。

1/2 = 上に1 ÷ 右に2

という比として見ると描きやすくなります。

「変化の割合」と傾きは何が違う？

一次関数では、傾きと変化の割合は同じ値になります。

変化の割合は、

yの増加量 ÷ xの増加量

です。

たとえばxが1から4へ増え、yが5から11へ増えたなら、

xの増加量は3、yの増加量は6なので、

6÷3=2

です。

傾きは2と分かります。

「増加量」は、後の値-前の値で計算します。xとyで引く順番をそろえることが大切です。

2点から傾きを求める

2点、

(1,4) と (3,10)

を通る直線の傾きを求めます。

xの増加量は、

3-1=2

yの増加量は、

10-4=6

なので、

6÷2=3

傾きは3です。

公式としては、

(yの増加量)/(xの増加量)

ですが、数字を機械的に入れるより「右へどれだけ進んだら、上下にどれだけ動いた？」と考えると理解しやすくなります。

傾きと切片を混同しない

y=2x+3

では、

傾き：2
切片：3

です。

切片は、x=0のときのyの値です。

グラフではy軸と交わる場所になります。

傾きは直線の「進み方」、切片は直線の「スタート位置」と考えると区別しやすくなります。

よくあるミス

xの増加量とyの増加量を逆にする

傾きは、

yの増加量÷xの増加量

です。

逆にしないようにしてください。

引く順番がバラバラ

xを「後-前」にしたなら、yも「後-前」にします。

片方だけ逆にすると符号が反対になります。

負の傾きなのに右上がりに描く

傾きが負なら、xが増えるほどyは下がります。

グラフの見た目でも最後に確認してください。

グラフのミス対策は、グラフに限らずミスが続く人は、中学生の計算ミスを減らす方法の考え方も参考になります。

1分チェック

y=-2x+5

について答えてみましょう。

傾き：-2
切片：5
xが1増えるとyは？：2減る
グラフ：右下がり

ここまで言えれば、傾きを「xの前の数字」以上の意味で理解できています。

まとめ

一次関数の傾きは、xの変化に対してyがどれだけ変わるかを表します。

y=ax+b のaを見るだけでなく、

表ではyの増え方
グラフでは右へ進んだときの上下
2点では yの増加量÷xの増加量

として同じものを見てください。

式・表・グラフをつなげられるようになると、一次関数は暗記する内容がかなり減ります。