因数分解の公式が覚えられない人へ｜4つを丸暗記しない見分け方

因数分解では、似た公式がいくつも出てきます。

公式を覚えたはずなのに、問題を見ると、

「どれを使えばいいの？」

と止まってしまう人も多いところです。

原因は、公式を覚えていないことだけではありません。式を見たときの確認順が決まっていないと、毎回4つの公式を頭の中から探すことになります。

この記事では、代表的な4つの形を「見分ける順番」で整理します。

その前に、共通因数があれば最優先

公式を見る前に、全部の項に共通している数や文字がないか確認します。

たとえば、

3x²+6x

なら、どちらにも3xがあります。

3x²+6x = 3x(x+2)

です。

共通因数をくくれる問題では、まずここから始めます。

因数分解全体の意味が曖昧な人は、展開と因数分解がわからない中3へから確認してください。

代表的な4つの形

中3でよく使う形を並べると、次の4つです。

1. x²+(a+b)x+ab

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

たとえば、

x²+7x+12

なら、

足して7、掛けて12になる2数を探します。

3と4なので、

x²+7x+12=(x+3)(x+4)

です。

2. a²+2ab+b²

a²+2ab+b²=(a+b)²

たとえば、

x²+6x+9

は、

x² と9がそれぞれ平方になっています。

x²=(x)²

9=3²

真ん中も、

2×x×3=6x

なので、

(x+3)²

です。

3. a²-2ab+b²

a²-2ab+b²=(a-b)²

たとえば、

x²-10x+25

なら、

25=5²

で、真ん中は

-2×x×5=-10x

です。

したがって、

(x-5)²

になります。

4. a²-b²

a²-b²=(a+b)(a-b)

たとえば、

x²-16

なら、16は4²なので、

x²-4²

=(x+4)(x-4)

です。

この「2乗-2乗」の形は、大きな数の暗算にも使えます。1001²−999²を一瞬で解く方法を見ると、因数分解が計算を楽にする感覚もつかめます。

見分ける順番を固定する

公式を4つ並べて毎回悩むのではなく、次の順番で見ます。

1. 共通因数はある？

あれば先にくくる。

2. 項は2つ？

2つで、どちらも2乗になっていて間がマイナスなら、

a²-b²

を疑います。

3. 項は3つで、最初と最後が平方？

真ん中が ±2ab になっていれば、

(a±b)²

です。

4. それ以外のx²+bx+cなら？

「足してb、掛けてc」の2数を探します。

この順番なら、4公式を同時に思い出す必要がありません。

例題で見分けてみよう

x²-36

2項です。

36=6²

なので、差の平方。

(x+6)(x-6)

x²+8x+16

3項で、最初と最後が平方。

16=4²

2×x×4=8x

なので、

(x+4)²

x²+x-12

完全平方にはなりません。

足して1、掛けて-12になる2数は4と-3。

したがって、

(x+4)(x-3)

です。

よくあるミス1：符号を見ずに数字だけ探す

x²-x-12

で、3と4を見つけただけでは不十分です。

掛けて-12なので符号は反対。

さらに足して-1にする必要があるので、

-4 と 3

です。

答えは、

(x-4)(x+3)

となります。

よくあるミス2：因数分解したら確認しない

迷ったら、答えを一度展開します。

(x-4)(x+3)

を展開すると、

x²-x-12

に戻ります。

因数分解と展開は逆向きの計算なので、展開がそのまま検算になるのが便利です。

3問だけ練習

1. x²-49
2. x²-12x+36
3. x²+2x-15

答えは、

1. (x+7)(x-7)
2. (x-6)²
3. (x+5)(x-3)

です。

どの公式かだけでなく、「なぜその形だと判断したか」を一言説明できるか確認してください。

まとめ

因数分解の公式が覚えられないときは、4つを何度も眺めるより式を見る順番を固定するほうが実戦的です。

まず共通因数。

次に項の数。

そのあと、最初と最後が平方になっているか、真ん中が ±2ab か、足して真ん中・掛けて最後になる数があるかを見ます。

公式は「暗記する一覧」ではなく、式の形を見分けるための道具として使ってみてください。