末尾が5の2乗はなぜ簡単？35²・65²・115²を暗算するコツ

35²、65²、115²。

普通に掛け算すると少し面倒ですが、末尾が5の数の2乗には共通する計算のコツがあります。

たとえば、

65²

なら、5の前にある6と、その次の7を掛けます。

6×7=42

その後ろに25を付けると、

4225

になります。

この方法は数字遊びではなく、中3で習う展開を使うと理由を説明できます。

まずは3問で規則を見てみよう

35²

5の前は3なので、

3×4=12

後ろに25を付けて、

35²=1225

65²

6×7=42

なので、

65²=4225

115²

115では、5の前を「11」と考えます。

11×12=132

後ろに25を付けて、

115²=13225

です。

95²だけを例にした基本の解説は、95²を暗算で計算する方法で詳しく紹介しています。この記事では、そこから一歩進めて一般的な仕組みを見ていきます。

覚え方は「前×次、最後に25」

末尾が5の数を見たら、

5の前の数 × その次の数 → 25を付ける

と覚えます。

たとえば85²なら、

8×9=72

なので、

7225

です。

ここで一番多いミスは、

8×8=64

として6425にすることです。

「前の数を2乗」ではなく、前の数と次の数を掛ける点に注意してください。

なぜ必ず最後が25になるの？

末尾が5の整数は、

10a+5

と表せます。

たとえば65ならa=6、115ならa=11です。

これを2乗すると、

(10a+5)²

展開して、

100a²+100a+25

となります。

前の2項をまとめると、

100a(a+1)+25

です。

つまり、

a(a+1) の後ろに00を付けた数に25を足しているので、結果は必ず

a×(a+1) の後ろに25

という形になります。

これが暗算の仕組みです。

展開や因数分解がまだ難しい人は、展開と因数分解がわからない中3へから確認してみてください。

25²でも使える？

もちろん使えます。

5の前は2なので、

2×3=6

後ろに25を付けて、

625

です。

5²ではどうなる？

5を 05 と考えると、5の前は0です。

0×1=0

後ろに25を付けて、25。

つまり、

5²=25

となります。

205²のような大きな数でも同じ

205²なら、5の前は20です。

20×21=420

その後ろに25を付けて、

42025

です。

数が大きくなってもルールは変わりません。

この「大きく見える計算ほど、式の形を見れば簡単になる」という感覚は、1001²−999²を一瞬で解く方法にもつながります。

使える条件を間違えない

この方法が使えるのは、同じ数を2回掛ける2乗で、末尾が5のときです。

たとえば、

65×75

にはそのまま使えません。

どちらも5で終わっていますが、同じ数の2乗ではないからです。

計算の裏技は、方法だけでなく「どんな形なら使えるか」まで覚えてください。

3問練習してみよう

問題1

45²

4×5=20

答えは2025。

問題2

75²

7×8=56

答えは5625。

問題3

125²

12×13=156

答えは15625です。

解説を閉じて、もう一度何も見ずに計算できれば定着してきています。

暗算のコツは公式暗記にもつながる

この計算方法は「テストで必ず使わなければならない公式」ではありません。

しかし、展開公式が実際の数字の計算を簡単にしていると分かると、

(a+b)²

のような式も単なる暗記に見えにくくなります。

数学の公式は、問題を難しくするためではなく、同じ計算を何度も楽に扱うために整理された道具でもあります。

まとめ

末尾が5の数の2乗は、

5の前の数 × その次の数 → 後ろに25

で計算できます。

65² なら、

6×7=42 → 4225

です。

仕組みは (10a+5)² を展開すると説明できます。暗算だけを覚えるのもよいですが、中3ならぜひ「なぜそうなるか」まで確認してみてください。