95²を暗算で計算する方法｜末尾が5の2乗が一瞬で解ける理由

95² を計算するとき、95×95の筆算をしてももちろん正解できます。でも、末尾が5の数の2乗には、もっと短く計算できる方法があります。

95²なら、

9×10=90

の後ろに 25 を付けて、

95²=9025

です。

「たまたまそうなる裏技」に見えますが、きちんと理由があります。中3で習う展開を使うと、なぜこの方法が必ず使えるのかまで説明できます。

95²を筆算せずに計算してみよう

95の「5の前の数」は9です。9の次の数は10なので、まず

9×10=90

とします。その右側に必ず 25 を置きます。

90｜25

つまり、

95²=9025

です。

ここで覚えたいのは「95²の答えが9025」という数字ではありません。

末尾が5の数を見たら、5の前の数×その次の数を計算し、最後に25を付けるという形です。

35²と75²でも同じになる

35²なら、5の前は3です。

3×4=12

最後に25を付けて、

35²=1225

75²なら、

7×8=56

なので、

75²=5625

となります。

3×3、7×7ではなく、前の数と「その次の数」を掛けるところがポイントです。

なぜ最後に25を付けるだけでいいの？

末尾が5の整数は、10a+5 と表せます。たとえば95なら a=9 です。

これを2乗すると、

(10a+5)²

=100a²+100a+25

=100a(a+1)+25

となります。

100a(a+1) は、a(a+1) の後ろに00を付けた数です。そこへ25を足すので、結果は必ず「a×(a+1) の後ろに25」という形になります。

95²なら、

a=9

なので、

9×10=90

後ろに25を付けて9025です。

中3の展開を復習したい人は、展開と因数分解がわからない中3へもあわせて確認すると、この計算の仕組みがつながります。

115²のような3桁でも使える？

使えます。

115²なら、5の前を「11」と考えます。

11×12=132

後ろに25を付けて、

115²=13225

です。

「5の前は1桁」と決まっているわけではありません。末尾が5なら、15²でも215²でも同じ考え方が使えます。

どんな計算にも使えるわけではない

便利な方法ですが、条件があります。

たとえば 95×85 は、同じように9×10の後ろへ25を付ける計算ではありません。この方法は、同じ末尾5の数を2回掛ける、つまり2乗するときの方法です。

数学の計算テクニックは、やり方だけでなく「いつ使えるか」をセットで覚えると、公式の選び間違いが減ります。

計算ミスが多い場合は、中学生の計算ミスを減らす方法も参考にしてみてください。

3問だけ練習してみよう

次の答えを、できれば筆算せずに出してみてください。

1. 45²
2. 65²
3. 105²

答えは、

1. 4×5=20 → 2025
2. 6×7=42 → 4225
3. 10×11=110 → 11025

です。

解説を読んだ直後だけでなく、翌日にもう一度1問解いてみると、本当に自分で使えるようになったか確認できます。

まとめ

95²は、

9×10=90

の後ろに25を付けて、

9025

と計算できます。

この方法が使えるのは偶然ではなく、(10a+5)²=100a(a+1)+25 と展開できるからです。

「裏技」として答えだけ覚えるより、末尾が5の2乗という条件と、なぜ成り立つかまで分かっていると、数字が変わっても使えます。

ますっちの中学数学学習では、計算の理由を確認したあとに問題を解きながら学べます。公式を丸暗記するのが苦手な人は、意味から確認してみてください。